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29 avril 2007 7 29 /04 /avril /2007 05:23
    Lo más honesto sería comenzar la entrada notificando que no he leído directamente las obras mencionadas, y no tengo la preparación para evaluar las que he conocido de manera directa, por lo que todo el material utilizado para esta nota proviene de fuentes secundarias. Dicho esto, creo que puedo empezar.

    Todo comienza con un matemático llamado David Hilbert que se hizo muchas preguntas sobre la matemática, una de ellas puede resultar bastante sorprendente, la llamada segunda pregunta de Hilbert dice más o menos así: ‘¿tiene sentido la matemática?’ (Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes – Es el problema de Hilbert, de manera vulgar y pedestre se podría simplificar en la pregunta que yo hago) ¿Qué es lo que quiso decir con eso? Ya que es hasta cierto punto obvio que la matemática sí tiene sentido. No podríamos los seres humanos estar trabajando con algo que no lo tiene durante milenios, no podríamos haber resuelto problemas y trabajado de tantas maneras matemáticas. Entonces, ¿a qué se refiere Hilbert?

Sucede que las matemáticas son sólo un sistema lógico simbólico, por llamarlo algo, y a ciertos niveles muy complejos, y no tanto, se presentan paradojas dentro de este sistema. Me temo que no poseo la preparación matemática necesaria para discutir un ejemplo de esas paradojas, pero como sistema lógico simbólico puedo utilizar al propio lenguaje para dar una aproximación al tipo de problemas que preocupaban a Hilbert. Una de las paradojas más antiguas la inventó un filósofo de una pequeña isla griega, Epimenides el cretense, él dijo una vez: ‘Todos los filósofos son mentirosos’, lo que de ser cierto provocaría que fuese mentira. Si todos los filósofos son mentirosos entonces al decir esto Epimenides estaría diciendo la verdad, por lo que estaría mintiendo con eso de todos son mentirosos, lo que hace que su frase se torne cierta, por lo que estaría diciendo la verdad pero inmediatamente eso se vuelve falso, etcétera, así hasta el infinito. Eso es una paradoja, la creación de un problema que se genera a sí mismo hasta el infinito. Lo mismo puede suceder con ciertos razonamientos abstractos de la matemática, es por eso que Hilbert se pregunta si en su corazón las matemáticas tienen sentido, ¿o no?

Por otro lado, ni cortos ni perezosos—porqué no decirlo: un par de genios de nivel mayúsculo—, Alfred Whitehead y Bertrand Russell se decidieron a entrar hasta el mismísimo fondo de las matemáticas, más que eso, agarraron su corazón y lo diseccionaron. Haciendo uso de lógica simbólica y matemática desarrollaron desde el alfa hasta el omega de la propia matemática. ¿Qué hicieron? Pues supuestamente no trabajaron con números, ya que ellos estaban trabajando sobre los principios de la matemática. Tengo un ejemplo, pero es un tanto elaborado, así que intentaré ilustrar el asunto con otro más sencillo, espero no equivocarme. Digamos que tenemos que hablar de uno de los principios de la suma, ya saben 1 + 8 = 9, pero no deseamos utilizar números ya que no estamos haciendo ejercicios ni resolviendo problemas básicos, estamos trabajando sobre los principios de la matemática, en este caso de la suma, entonces podríamos tener que: a + b = c, esto es: cualquier número ‘a’ sumado a una cantidad diferente ‘b’ arroja un resultado nuevo ‘c’. Ahora, ¿cómo representarían 1 + 1 = 2? Esto es: un número sumado a sí mismo arroja un resultado que lo multiplica en proporción al número de veces que se sume a sí mismo. Se puede representar eso con símbolos matemáticos, pero prefiero no hacerlo para no meter la pata. (Para Principia, Whitehead y Russell usaron axiomas)

Trabajando el asunto hasta los niveles más profundos de la matemática, Whitehead y Russell hicieron el trabajo de diseccionar esta materia hasta el fondo. Su trabajo se llama: ‘Principia matematica’, lo presentaron entre los años 1910 y 1913, y es muy probable que lo puedan encontrar en la red, si desean echarle una mirada. (Oigan, aquí hay algo. Ah, y no deben confundir este trabajo con el escrito homónimo de Isaac Newton, que trata sobre los fundamentos de la física clásica.)

Cuando llevaron el texto donde el decano de la facultad de la universidad en la que trabajaban él les preguntó: ‘y estito ¿de qué se trata?’ Cuando Whitehead y Russell terminaron de explicarle, el decano supo que tenía un éxito editorial en sus manos, el texto de ‘Principia matematica’ probablemente podían comprenderlo Whitehead, Russell, y unos 200 a 300 genios matemáticos más, en todo el planeta. Así que Russell y Whitehead debieron colaborar económicamente para que el texto fuese publicado, ya que no debió ser ningún chiste meter todos esos simbolitos para publicación cuando todavía no existían las computadoras. Resultó que uno de los matemáticos interesados en ‘Principia matematica’ fue un genio alemán llamado Kurt Gödel. Como en esos tiempos no había televisor, y como quien disfruta de una novelita para distraerse, Gödel se puso a estudiar el texto de la dupla Whitehead – Russell. Una de sus observaciones se hizo muy famosa, traduciendo del inglés un texto que originalmente está, creo, en alemán, pues aquí les presento el teorema de Gödel, también para ilustrar la complejidad del trabajo de ‘Principia’:

 Para cada consistente-ω recursivo clase κ de fórmula corresponden signos clase r recursivos, de tal manera que ni v Gen r ni Neg (v Gen r) pertenecen a Flg (k) (donde v es la variante libre de r).
 

¿Qué tal? La verda’ que no sé si mi traducción es correcta, pero suena a español algo que estaba en inglés, aunque bien podría seguir estando en chino. No soy capaz de captar el nudo del asunto, es probable que pudiese, ya que nunca fui manco en matemáticas, sólo flojo, pero ese no es el punto, el punto es que varios textos me explicaron qué quiere decir, y esa es la gran maravilla, a través de este teorema Gödel, trabajando con las proposiciones de ‘Principia’ nos está diciendo: ‘todos los filósofos son mentirosos’, palabras de Whitehead, y de Russell, ambos filósofos. O sea, incluso el profundísimo razonamiento de los dos genios no había producido un sistema libre de paradojas, absurdos e inconsistencias. Desde entonces, gracias al escrito de Gödel ‘Sobre proposiciones formalmente sin resultado en Principia Matematica y sistemas relacionados I’, de 1931, la respuesta ha sido que ningún sistema simbólico está libre de absurdos o sinsentidos. Por lo que la respuesta, hasta el día de hoy, a la pregunta de Hilbert es que no, la matemática no tiene sentido (esto sólo desde cierto punto de vista). Pero este sumamente interesante detallito no es el final de esta entrada.

¿De qué está hecho el universo? Desde finales del XIX que la pregunta estaba en boga entre los físicos, ya que habíamos descubierto los átomos gracias a los trabajos de muchos, la famosa Marie Curie entre ellos. El punto es que cierto tipo de resultados experimentales iban arrojando preguntas más que respuestas. El calor, la radiación y otros fenómenos naturales no se comportaban del todo como deberían, vistos desde el punto de vista de la física clásica, o sea Newton y sus amigos. Pero si bien comprendíamos mucho, no lo comprendíamos todo. A principios del siglo XX el trabajo de tres personas cuestionaría los fundamentos de toda la física y elaborarían gran parte de lo que hoy conocemos como física cuántica, estos eran Max Planck, Albert Einstein, y, principalmente, Niels Bohr. Me temo que debo tocar el tema muy superficialmente, no sólo por mi limitada preparación para este campo, también por motivos de espacio y asunto, así que me voy a saltar los detalles e iré directamente a lo que me interesa mostrarles, comentarles.

Observando el desprendimiento de energía de un ‘cuerpo negro’, Planck notó que el número cuantificado era constante y entero, o sea: de 4.83 a 6.83, y de ahí a 8.83, por ilustrar. Esto se llamó constante de Planck y creo que esa cantidad es de 6.6 × 10-27 erg-seg. Por lo que el numerito constante es casi imperceptible, o sea que sí, está ahí el entero indivisible (ejemplo: 3456.98736675845243647829109887639 + 0.0000000000000000000000000066 nos daría un segundo número con una diferencia entre uno y otro de un ‘cuanto’, a ojo de buen cubero, revisen si está elevado al negativo de 27), pero es difícil de ver. Lo importante es que ESTÁ AHÍ, básicamente la energía no fluye, salta, y probablemente la materia, y tu sangre, y tu auto, y tu hijo, etcétera, todo salta, a nivel subatómico, no fluye. Trabajando con experimentos que pretendían demostrarnos qué sucedía con el universo a nivel molecular, los científicos encontraron fenómenos bastante interesantes, y todos tenían características similares al número de Planck, constantes no divisibles. Un ejemplo de esto es el llamado ‘salto cuántico’, que está relacionado con las órbitas de los electrones, o algo así, resulta que cierto movimiento molecular no es un fluido. O sea, mueve tu mano de un lado a otro, fluye, ¿verdad? Puedes detener tu mano en cualquier punto, digamos que hay 40 centímetros en la longitud que pretendes recorrer con tu mano, pues lo haces y la detienes en el centímetro 21 y después en el 38. Imagina que buscas detenerlo en el centímetro 22,5 y después en el 23,8, es posible. Inténtalo con una pelotita (22.5, 22.6 o 22.55, 22.556, 22.557, etc., matemáticamente es posible, físicamente, no). El movimiento de los objetos nos parece fluido. A nivel molecular no sucede eso.

Digamos que tienes casillas para mover las cosas, por lo que un electrón para moverse tiene que saltar del valor 8,34 al 12, 27 y si de ahí se quiere mover pues tendrá que llegar directamente al valor 18,89 (Los números son pura ilustración). Me temo que ya estoy demasiado acostumbrado a la idea, y me parece lo más lógico y natural del mundo. Pero en esos tiempos la aparente fluidez de nuestra naturaleza y los saltos cuánticos sorprendieron a nuestros científicos. Desde finales de 1900 hasta mediados de los años 30, los científicos más brillantes de la humanidad (y, debido a que el resto del mundo estaba atrasado, esto quiere decir el mundo occidental) buscaron respuestas a estas preguntas. Esas respuestas tienen aspecto de formulas llenas de simbolitos de integrales, exponentes, y letras griegas como λ, ψ y otras, que se ven muy regias y le dan un toque artístico a cualquier libro de física cuántica.

(¿Me animo o no me animo a utilizar una analogía? Mmm, me animo. Ignorando el temor a equivocarme les voy a contar sobre el experimento mental del gato de Schrödinger. Digamos que ponen a un gato en una caja de cartón, escuchan que maúlla extrañado por la acción, entonces agarran un fusil y disparan contra la caja y el gato que estaba dentro. El sonido es atronador y el gatico no tiene tiempo ni para decir miau, unos manchones de sangre nos explican muy bien qué ha sucedido. Gatos aparte, todo lo sucedido es física: la fuerza del proyectil, la dirección, la resistencia del aire, la penetración del cuerpo del gato. Todo podría simbolizarse y explicarse con formulas matemáticas. Incluso podríamos predecir el tiempo que tardaría el proyectil en golpear al mínimo antes de hacerlo. Podríamos amarrar al gato y ponerlo en un lugar determinado, disparar sin mirar al objetivo, después de apuntar el fusil, predecirlo todo mediante matemática y deducir que el gato está muerto sin necesidad de abrir la caja. Ahora, digamos que hacemos todo, pero en vez de un fusil tenemos un contenedor donde se produce una desintegración radiactiva y a través de su cañón dispara partículas radioactivas, en el cajón hay un contador geiger que hará estallar un frasco con gas venenoso que matará al gato si detecta radiación. A nivel molecular, de partículas subatómicas, no podemos hacer formulas que nos permitan adivinar/predecir el estado del gato. Lo único que se ha logrado hacer, gracias a, precisamente, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg y Paul Dirac, es calcular el resultado a ojo de buen cubero. O sea: si utilizamos formulas, donde en la primera instancia nos dice: gato refundido por el proyectil que lo atravesó como manteca, en la segunda instancia tenemos, pues: que el gato está vivo o muerto, 50% y 50%, ya que no podemos predecir un solo resultado para una función de onda, lo que tiene que ver con las trayectorias de las partículas subatómicas. ¿Cómo podemos tener un mundo? El del gato muerto en la caja todo manchado de sangre, que es perfectamente predecible y concreto, ¿si en esencia esta realidad se hace con partículas impredecibles? Y de ahí el segundo gato, el que no sabemos si está vivo o muerto. Éste es el problema que tenía tan sorprendidos y preocupados a nuestros hermanos científicos de principios del siglo XX)

Y la gente seguía trabajando en estos asuntos cuando Heisenberg dijo, resumiendo: Δp Δx ≥ (~h) (entendiendo el mayor que o igual a). Esta sencilla formula es la estructura del llamado Principio de Incertidumbre de Heisenberg, lo que en términos no matemáticos nos dice: que no se puede calcular el valor de la posición y a la vez establecer el impulso exacto de una partícula subatómica. O sea, a cierto nivel del mundo subatómico, por decirlo de una manera sencilla para que yo y ustedes (a menos que sean físicos cuánticos) lo podamos comprender, el asunto se torna impredecible. Lo dice esa formulita. Eso quiere decir que no podríamos estar por ahí matando gatitos con cañones adheridos a contenedores con desintegraciones radioactivas, ya que no podemos calcular pa’ dónde irían esas partículas, bueno, en verdad no podríamos calcularlo en una proporción mayor o igual a un número h, pero eso ya sería suficientemente embarazoso como para no permitir la venta de esos contenedores. Esta idea del principio de incertidumbre, el fin del determinismo, fue bastante vulgarizada, o sea comunicada al público en general, no sólo por periodistas, ensayistas, filósofos y bitacoreros, como éste servidor, sino también por físicos, incluyendo al propio Heisenberg. Muchos comenzaron a imaginar un mundo inasible, no determinado. (A la mente me viene el documental ‘What the bleep do we know?’ donde la mala interpretación de ésta y otras ideas otorga el mismo valor a la ciencia que a tonterías)

De estas ideas y descubrimientos surgieron las llamadas teorías del caos, que buscan calcular lo incalculable, ya que hasta el desorden tiene su orden. Bueno, todo lo visto proviene de fuentes secundarias, incluso el teorema de Gödel y el principio de incertidumbre. Me parece interesante hablar de esto ya que es la razón de porqué, a ciertos niveles la ciencia de nuestro tiempo, se muestra insegura de sus respuestas. Resumo y explico lo que algunos dijeron, filtrando con los límites de mi propia comprensión. Y desde los límites de mi propia comprensión es que ofrezco una conclusión: que la realidad es una y concreta, que las matemáticas sí tienen sentido pero dentro de su propio sistema, que no tiene nada que ver con el nuestro, de ahí que podamos notar los absurdos creados por el sistema ya que estamos fuera de él (idea manifestada por Douglas Hofstadter). Así, el principio de incertidumbre se referiría al límite de la comprensión que podemos tener de la realidad física utilizando matemáticas o cualquier otro sistema lógico simbólico, incluido el lenguaje. Para abrazar esa realidad al mínimo detalle, nuestra realidad, sólo nos queda la observación concreta. Y esa es mi conclusión. (Ahora, si deseamos especular al respecto, pues tendríamos que generar otro tipo de sistema lógico que podríamos llamar matemática concreta, con la esperanza de que este no se vea afectado por el mal que aqueja a todos los sistemas lógicos, el teorema de Gödel. Recuerdo que pensando al respecto llegué a la conclusión de que uno de los principios de ese sistema tendría que ser: Nn < Np + 1, donde el conjunto de números naturales es menor al conjunto de números posibles más uno. Los números, por su lado, dentro de la lógica del sistema matemático, son infinitos, lo que no tiene sentido en nuestro universo finito. Después me puse a pensar que el sistema no podría utilizar números, ya que no podría permitir ni la suma más sencilla ni números negativos, mucho menos ese ‘i’ tan importante pero tan, tan loco, todas esas cosas son juegos del sistema simbólico llamado matemáticas y no tienen nada que ver con nuestra realidad verdadera [los billetes, las cuentas en computadoras, los numerosos objetos humanos similares, son parte de la realidad creada por el ser humano, que también es muy concreta pero sólo suya, o sea, nuestra]. Entonces, la matemática concreta sería lenguaje descriptivo de la lógica de nuestro universo, lo que es fácil decirlo. ¿Llegaría este barco a algún lugar? Pues como ejercicio mental sería bastante sano, e interesante, pero creo que no escaparía al fenómeno gödeliano. Así que vuelvo a repetirlo: observación concreta.)

Nota: Resulta que la paradoja de Epimenides es mucho más sencilla e interesante, simplemente consiste en afirmar: ‘yo miento’ o ‘todos los cretenses son mentirosos’, que son variaciones de la misma idea. La versión utilizada al principio probablemente proviene de En busca de Klingsor o Cryptonomicon.

(Las novelas Cryptonomicon, de Neal Stephenson, y En busca de Klingsor, de Jorge Volpi, tratan en parte este tema. Gödel, Escher, Bach an eternal golden braid de Douglas R. Hofstadter, Teoría cuántica para principiantes de J. P. McEvoy y Oscar Zárate, Quantum Theory de David Bohm, también me sirvieron para informarme. Las fuentes para esta entrada fueron varias)

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Published by Rodrigo Antezana Patton - dans mimeme
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